线性代数——特征值与特征向量

定义Aαλαλ为特征值非零α为特征向量特征向量是齐次方程的非零解|λE-A|为特征方程计算方法特征方程|λE-A|0→求λᵢ允许有重根特征向量解(λᵢE-A)x0→非零解推理分析Aαλα性质Σλᵢtr(A)迹主对角线之和Πλᵢ|A|AᵐαλᵐαA可逆时A⁻¹αλ⁻¹αAnαλnαA*|A|/λ一个特征值的特征向量有无穷多个同一特征向量线性组合仍是λ的特征向量。不同特征值对应的特征向量线性无关相似矩阵与对角化相似P⁻¹APB⇒特征值相同、秩相同、行列式相同可对角化充要条件有n个线性无关特征向量k重特征值对应k个无关向量步骤求λᵢ→求特征向量→P[ξ₁…ξₙ]→P⁻¹APdiag(λ₁…λₙ)P为可逆矩阵实对称矩阵特征值为实数特征向量为实向量实对称矩阵必可相似对角化不同特征值的特征向量正交内积0,a1*a20必可通过正交矩阵对角化QᵀAQΛQ⁻¹QᵀQ为正交矩阵解题步骤